Loi gaussienne : La loi gaussienne (ou normale) est une des lois de probabilité les plus utilisées dans les sciences appliquées du fait de ses propriétés théoriques remarquables.
La loi gaussienne est une loi de probabilité paramétrique. Elle est caractérisée par sa moyenne
et sa variance
.
On la note 
Une variable aléatoire X suivant une loi
a pour densité de probabilité :

Cette fonction de densité, appelée courbe de Gauss, possède une forme caractéristique rappelant celle d’une cloche. Elle se répartit de manière symétrique autour de la moyenne, point où elle atteint son maximum. Elle décroît ensuite à mesure que les valeurs sont éloignées de la moyenne. Cette concentration de la densité autour de la moyenne est une caractéristique importante de la loi gaussienne. Elle se traduit notamment par le fait qu’une majorité des valeurs observées est contenue dans un intervalle restreint autour de la moyenne. Par exemple, la probabilité d’avoir une valeur comprise dans l’intervalle [
– 1.96
,
+ 1.96
] est égale à 95 % et la probabilité d’avoir une valeur comprise dans l’intervalle [
– 3.29
,
+ 3.29
] est de 99.9 %.

La loi gaussienne de moyenne nulle et d’écart-type égal à 1 est appelée loi gaussienne centrée réduite ou loi gaussienne standard.
La loi gaussienne existe également dans une version multidimensionnelle, appelée loi gaussienne multivariée. Elle est alors caractérisée par son vecteur moyenne
et sa matrice de covariance K.
Du fait de ses propriétés particulières, la loi normale est souvent considérée comme une loi de référence. C’est notamment la seule loi dont tous les moments centrés d’ordre supérieur à 2 sont nuls. De ce fait, elle est souvent utilisée comme étalon pour définir certaines quantités statistiques, comme la kurtosis (mesure de l’aplatissement de la distribution) ou la skewness (mesure de son asymétrie).
Le « théorème central limite » confère également à la loi normale un rôle fondamental. Il indique que toute loi de probabilité converge en un certain sens vers la loi normale. Ce résultat conduit naturellement à la formulation d’inégalités de concentration (bornes sur la probabilité qu’une variable aléatoire dévie d’une certaine valeur). Il traduit aussi la pertinence de la loi normale pour la modélisation des phénomènes courants, comme par exemple la distribution d’une caractéristique démographique telle que la taille au sein d’une population homogène.
Finalement, la loi gaussienne est à la base de nombreuses méthodes d’apprentissage statistique, comme les tests statistiques et les modèles utilisant les processus gaussien.
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